Sabtu, 22 November 2008

limit fungsi

LIMIT FUNGSI

A. Pengertian Limit Fungsi

Limit merupakan salah satu pengetahuan dasar untuk mempelajari diferensial dan integral. Pada pasal ini kita akan mempelajari limit untuk fungsi-fungsi yang sederhana.

Contoh 1 :

Perhatikan fungsi f(x) = 2x + 1 untuk x Є real, kita ambil untuk nilai x mendekati 3 maka nilai f(x) = 2x + 1 hasilnya akan tampak pada tabel di bawah ini :

x

2,96

2,98

2,99

3

3,01

3,02

3,04

f(x) = 2x + 1

6,92

6,98

6,98

7

7,02

7,04

7,08

Dari tabel di atas terlihat bahwa jika x bergerak semakin dekat ke 3 nilai f(x) bergerak semakin dekat ke 7. Dalam matematika hal ini dapat dibaca “ jika x mendekati 3 maka 2x + 1 nilainya mendekati 7 atau limit dari f(x) = 2x + 1 mendekati 3 adalah 7”.

Dalam notasi ditulis :

Contoh 2 :

Perhatikan fungsi untuk semua x kecuali x = 3.

Fungsi f(x) dapat ditulis .

Selanjutnya kita lihat nilai f(x) untuk x yang mendekati 3, hasilnya tampak pada tabel di bawah ini :

x

2,96

2,98

2,99

3

3,01

3,02

3,03

f(x)

5,92

5,96

5,98

6,01

6,02

6,03

Dari tabel di atas terlihat jika x bergerak semakin dekat ke 3 maka nilai f(x) semakin dekat ke 6. Jadi limit f(x) jika mendekati 3 adalah sama dengan 6 ditulis :

B. Limit Fungsi Aljabar

1. Jika variabelnya mendekati bilangan real

Cara penyelesaiannya :

a. Langsung disubstitusikan asal hasilnya bukan bilangan tak tentu. Bilangan tak tentu adalah

b. Jika disubstitusikan menghasilkan bilangan tak tentu maka terlebih dahulu harus :

* disederhanakan

* difaktorkan

* disubstitusikan

Contoh :

1).

Karena hasilnya bukan bilangan tak tentu maka

2).

2. Jika variabelnya mendekati ~

Untuk menyelesaikan limit yang variabelnya mendekati ~ (tak hingga), maka caranya pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi. Untuk setiap n bilangan bulat positif maka

Contoh :

Teorema Limit.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Contoh :

a.

b.

Latihan 1.

Tentukan nilai dari limit berikut:

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

C. Limit Fungsi Trigonometri

1. Untuk x mendekati sudut tertentu

Cara penyelesaiannya adalah disubstitusikan. Jika hasilnya bilangan tak tentu harus disederhanakan terlebih dahulu.

Contoh :

a.

b.

Karena hasilnya bilangan tak tentu, harus disederhanakan.

2. Untuk x mendekati nol

Rumus :

1).

2).

Contoh :

a.

b.

c.

d.

Latihan 2

Hitunglah nilai limit berikut!

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5.